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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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6. Calcule los siguientes límites
j) lim⁡h→0eh−1h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}

Respuesta

Bueno, lo mismo que te venía diciendo en los items anteriores. Este límite

lim⁡h→0eh−1h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}

por L'Hopital sale a ojo (pero de verdad eh) y sin ninguna complicación. Si queremos resolverlo sin L'Hopital hay que pensarlo por otro camino, estás acá bajo tu propio riesgo 😅

Te propongo tomar el cambio de variable:

y=eh−1y = e^h - 1 

Despejando, vemos que h=ln⁡(y+1)h = \ln (y+1) y, además, cuando hh tiende a 00, yy también tiende a 00. Entonces, el límite en términos de yy nos quedaría así: lim⁡y→0yln⁡(y+1)\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (y+1)}

Empezamos a reescribir esto para que nos aparezca el límite de ee que conocemos:

lim⁡y→01ln⁡(y+1)y=lim⁡y→011y⋅ln⁡(y+1)\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\ln (y+1)}{y}} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \ln (y+1)} Por propiedades de logaritmos: lim⁡y→01ln⁡(y+1)1y\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (y+1)^{\frac{1}{y}}}

y ahí abajo nos apareció un límite de la forma que sabemos que tiende a ee, entonces...

lim⁡y→01ln⁡(y+1)1y=1ln⁡(e)=11=1\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (y+1)^{\frac{1}{y}}} = \frac{1}{\ln(e)} = \frac{1}{1} = 1

Por lo tanto,

lim⁡h→0eh−1h=1\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h} = 1

A no desesperar. Yo te confieso que estuve un rato pensáando cómo resolverlo sin usar L'Hopital y te juro que de la otra forma salía a ojo, por eso insisto en que no te estreses con esto, realmente en el parcial vos resolverías esto con L'Hopital. 
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