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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Calcule los siguientes límites
j) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}$
j) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}$
Respuesta
Bueno, lo mismo que te venía diciendo en los items anteriores. Este límite
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$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}$
por L'Hopital sale a ojo (pero de verdad eh) y sin ninguna complicación. Si queremos resolverlo sin L'Hopital hay que pensarlo por otro camino, estás acá bajo tu propio riesgo 😅
Te propongo tomar el cambio de variable:
$y = e^h - 1$
Despejando, vemos que $h = \ln (y+1)$ y, además, cuando $h$ tiende a $0$, $y$ también tiende a $0$. Entonces, el límite en términos de $y$ nos quedaría así:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (y+1)}$
Empezamos a reescribir esto para que nos aparezca el límite de $e$ que conocemos:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\ln (y+1)}{y}} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \ln (y+1)}$
Por propiedades de logaritmos:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (y+1)^{\frac{1}{y}}}$
y ahí abajo nos apareció un límite de la forma que sabemos que tiende a $e$, entonces...
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (y+1)^{\frac{1}{y}}} = \frac{1}{\ln(e)} = \frac{1}{1} = 1$
Por lo tanto,
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h} = 1$
A no desesperar. Yo te confieso que estuve un rato pensáando cómo resolverlo sin usar L'Hopital y te juro que de la otra forma salía a ojo, por eso insisto en que no te estreses con esto, realmente en el parcial vos resolverías esto con L'Hopital.